Родился 02 (14) ноября 1866  в с. Глубокий Ручей Вологодской губернии в крестьянской семье. В пятнадцать лет пришёл в Соловецкий монастырь, где работал на рыболовной тоне в Савватиевском скиту. Вскоре устроился учеником в иконописную мастерскую. Архимандрит монастыря, увидев карандашные рисунки Борисова, увёз его в главную обитель. Будучи послушником, Александр обучался рисованию и иконописи. На работы Борисова обратили внимание посещавшие Соловки президент Академии художеств Великий князь Владимир Александрович и известный собиратель живописи генерал А. А. Боголюбов, служивший в штабе Петербургского военного округа. Они помогли Александру: ему была выделена стипендия, и 20 сентября 1886 года он приехал в Санкт-Петербург. В 1886–1888 учился в Рисовальной школе Общества поощрения художеств. В Академии художеств  - с 1888 по 1892. В 1895 году занимался в мастерской И. И. Шишкина, а через год после его ухода из Академии — у А. И. Куинджи.

Летом 1894 года сопровождал Сергея Витте на пароходе «Ломоносов» в поездке по Северу. В обязанности Борисова входили зарисовки гаваней и бухт Мурманского побережья. Стал вынашивать идею высокоширотной художественной экспедиции. Из поездки он привёз около 150 этюдов, часть которых экспонировалась в 1897 году на академической выставке в Петербурге. В 1900 году Борисов и восемь его спутников отправились на Новую Землю. Экспедиция длилась 14 месяцев. Они обследовали и наносили на карту берега заливов Чекина, Незнаемый и Медвежий, давая бухтам, проливам, горным вершинам и мысам имена художников, учёных и тех, кто способствовал освоению Севера. Одним из главных результатов экспедиции стали сотни эскизов и этюдов, которые легли в основу монументальных полотен, созданных Борисовым по возвращении с Новой Земли. Работы художника, экспонировавшиеся на весенних Петербургских выставках 1900—1905 годов, привлекли внимание ценителей искусства не только в России, но и за рубежом. Выставки его работ прошли в Вене, Берлине, Гамбурге, Париже и Лондоне, Вашингтоне. Выставка его картин была проведена в Белом Доме. 

Вернувшись в Россию, Борисов поселился на родине, близ Красноборска. Кроме живописи Борисов писал путевые очерки — «У самоедов. От Пинеги до Карского моря» (1907), «В стране холода и смерти» (1909), «Великий Северо-Восточный путь. Великий речной путь из Сибири в Европу» (1910), «Обь-Мурманская железная дорога» (1915). В 1915—1916 годах Борисов совместно с В. М. Воблым разработал проект Обь-Мурманской железной дороги. В 1920—1930-е годы принимал активное участие в разработке проекта железной дороги Обь — Котлас — Сорока, а в 1922 году по его инициативе на базе соляного источника недалеко от Красноборска был открыт курорт «Солониха», стал его первым управляющим. Скончался 17 августа 1934 года в своём доме близ Красноборска.